Tiga orang sahabat, Ari, Budi, dan Cici terdampar di sebuah pantai bersama seekor kucing. Mereka berusaha mengumpulkan makanan, dan yang berhasil mereka temukan hanyalah ikan-ikan kecil, namun dengan jumlah cukup banyak. Karena kelelahan, mereka memutuskan untuk beristirahat dan membangun tenda. Mereka berencana untuk memasak ikan keesokan harinya bersama-sama.
Malamnya, ketika semua sedang tertidur, Ari bangun dari tidurnya. Karena ia kuatir pada keesokan harinya teman-temannya akan curang pada saat membagi ikan untuk sarapan, Ari mencoba mengamankan bagiannya. Ia membagi ikan-ikan tersebut ke dalam 3 bagian sama rata. Ternyata tersisa satu ekor ikan. Ari mengambil salah satu dari 3 bagian, dan memberikan sisa satu ekor ikan tadi ke kucingnya, dan kemudian tidur lagi. Tidak disangka, ternyata kedua temannya yang lain mempunyai pikiran untuk melakukan hal yang sama seperti Ari: bangun, membagi ikan (yang tersisa) ke dalam tiga bagian, dan mengambil bagiannya. Pada setiap pembagian, selalu tersisa satu ekor ikan yang kemudian diberikan kepada si kucing.
Keesokan paginya, mereka semua terbangun, dan tanpa saling memberitahu apa yang mereka lakukan pada malam harinya, mereka membagi ikan-ikan tersebut untuk bertiga. Sama seperti sebelumnya, pembagian dengan 3 menyisakan satu ekor ikan, yang diberikan kepada si kucing.
-
Berapakah jumlah minimum ikan yang terkumpul mula-mula?
-
Secara berturut-turut, berapakah jumlah ikan yang dimiliki oleh masing-masing Ari, Budi dan Cici pada akhirnya?
-
Jika pada pagi hari sisa ikan diberikan kepada kucing sebanyak 1 kemudian dibagi 3, maka sebelumnya terdapat 3a+1 ikan, di mana a merupakan jumlah ikan yang mereka dapatkan pada pagi hari.
Dengan menggunakan rumus sebelumnya, jumlah ikan sebelum diambil oleh Cici adalah:
3(3a + 1)/2 + 1
Jumlah tersebut merupakan jumlah ikan setelah diambil oleh Budi, sehingga jumlah ikan sebelumnya adalah:
3(3(3a + 1)/2 + 1)/2 + 1
yang mana jumlah itu adalah jumlah setelah diambil oleh Ari. Sehingga jumlah ikan awal adalah:
3(3(3(3a + 1)/2 + 1)/2 + 1)/2 + 13(3(3(3a + 1)/2 + 1)/2 + 1)/2 + 1
= 3(3((9a + 3)/2 + 1)/2 + 1)/2 + 1
= 3(3((9a + 3 + 2)/2)/2 + 1)/2 + 1
= 3(3((9a + 5)/2)/2 + 1)/2 + 1
= 3(3(9a + 5)/4 + 1)/2 + 1
= 3((27a + 15)/4 + 1)/2 + 1
= 3((27a + 15 + 4)/4)/2 + 1
= 3((27a + 19)/4)/2 + 1
= 3(27a + 19)/8 + 1
= (81a + 57)/8 + 1
= (81a + 65)/8Dari persamaan tersebut, 81a + 65 haruslah merupakan kelipatan 8, sehingga
(81a + 65) mod 8 = 0
(81a mod 8 + 65 mod 8) mod 8 = 0
(1a mod 8 + 1) mod 8 = 0
(1a mod 8) mod 8 = -1
Karena hasilnya adalah negatif, tambahkan ruas kanan dengan mod (yaitu 8)
1a mod 8 = 7
a = 7, 15, 23, 31, 39, …Karena jumlah minimal, maka ambil nilai terkecil, yaitu 7. Sehingga didapatkan bahwa setelah pagi hari, Ari, Budi dan Cici mendapatkan 7 ikan, dengan jumlah awal:
(81 * 7 + 65)/8 = 79. -
Jika awalnya ikan berjumlah 79, maka Ari mengambil sebanyak (79-1)/3 = 26 dan bersisa 52
Budi mengambil sebanyak (52-1)/3 = 17 dan bersisa 34.
Cici mengambil sebanyak (34-1)/3 = 11 dan bersisa 22.
Dengan demikian, Ari mendapat 26+7 = 33, Budi mendapat 17+7 = 24, dan Cici mendapat 11+7 = 18.
Jika tiap orang membagi 3 bersisa 1, maka akan lebih mudah jika menghitungnya dengan mengurangi 1 terhadap ikan yang ada. Setelah itu, orang yang membagi akan mengambil ⅓ bagian. Dengan demikian, sisa ikan setelah pengambilan adalah ⅔(x-1).
Misal jumlah ikan setelah pengambilan adalah a, maka:
a = ⅔(x-1)
3a/2 = x-1
x = 3a/2+1 (untuk sekali pengambilan),
dengan x merupakan jumlah ikan sebelum sekali pengambilan.
