Aljabar Boole atau Boolean adalah teknik matematis yang digunakan untuk menganalisis, menyederhanakan dan menyelesaikan persoalan yang bersifat logika pada rangkaian digital elektronika.

Logika biner terdiri dari variabel dan operator logika. Variabel logika ini hanya memiliki dua nilai, yaitu “True” dan “False” atau 1 dan 0. Untuk memudahkan dan menyederhanakan logika, biasanya variabel itu menggunakan sebuah karakter saja, misal A, B, x, y dan sebagainya.

Sifat Operasi Logika

Operasi dasar logika biner ada tiga, yaitu NOT, AND dan OR. Operasi NOT (invers) akan mengubah nilai 1 menjadi 0 dan sebaliknya. Misalkan ada sebuah variabel A, invers A adalah A’ atau A (A-not, A-invers atau A-bar).

Operasi AND untuk 2 variabel A dan B, yaitu A AND B atau agar lebih mudahnya A.B saja. Pernyataan A.B akan bernilai benar jika keduanya bernilai 1. Operasi OR juga untuk 2 variabel A + B (A or B) dan pernyataan akan benar jika setidaknya ada 1 yang bernilai benar (bisa salah satu atau keduanya).

Teori Aljabar Boole

Selain operasi logika dasar biner, ada juga teori atau hukum aljabar boole. Dengan teori ini, kita bisa menyederhanakan ekspresi boolean kompleks sehingga bisa mengurangi jumlah gerbang logika dalam rangkaian elektronik.

Elementer

• A + 0 = A. Karena apapun nilai A, ekspresi akan bernilai sama dengan A. Ini juga sama dengan operasi penjumlahan dengan 0 aritmatika.
• A + 1 = 1. Pada operasi dasar sebelumnya, kita sudah tahu bahwa jika ada nilai true pada salah satunya saja, ekspresi akan bernilai true.
• A + A’ = 1. Karena salah satunya pasti bernilai 1 (true).
• A.1 = A. Sama seperti operasi matematika perkalian dengan 1.
• A.0 = 0. Jika pada operasi AND terdapat nilai false, maka ekspresi sudah pasti bernilai false.
• A.A’ = 0. Salah satunya pasti ada yang bernilai 0.

Komutatif

Hukum komutatif menyatakan penukaran urutan, namun hal tersebut tidak akan berpengatuh terhadap hasil awal (sama saja).

• A + B = B + A
• A.B = B.A

Asosiatif

Hampir sama seperti komutatif, hanya saja asosiatif menggunakan 3 variabel.

• (A + B) + C = A + (B + C)
• (A.B).C = A.(B.C)

Distributif

Hukum ini sama seperti pada matematika yang mana variabel dapat disebarkan tempatnya tanpa mempengaruhi hasil.

• A.(B+C) = A.B + A.C
• A + (B.C) = (A + B).(A + C)

Identitas

• A + A = A
• A.A = A

Karena apapun nilai A, ekspresi akan bernilai A. Hukum identitas ini juga berlaku kebalikannya. A = A.A atau A = A + A. Penggunaannya tergantung pada penyelesaian soal.

Negasi

Negasi adalah kebalikan, sama dengan NOT.

• (A)’ = A’
• (A’)’ = A

Absorbsi

• A + AB = A. Jika A bernilai 0, ekspresi akan bernilai 0 (false) dan jika A bernilai 1, ekspresi akan bernilai 1 (true) apapun nilai B.
• A.(A + B) = A. Dengan menggunakan distribusi dan identitas, pernyataan ini sama seperti poin pertama.

Teori De Morgan

Teori De Morgan menyatakan bahwa komplemen dari hasil penjumlahan akan sama dengan hasil perkalian masing-masing komplemen.

• (A + B)’ = A’B’
• (A.B)’ = A’ + B’

Pembuktian teori-teori boole dapat dilakukan dengan beberapa cara, akan tetapi akan mudah dengan menggunakan tabel kebenaran (truth table).

Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran adalah tabel yang berisi daftar semua kemungkinan kombinasi dari masukan (input) dan hasil dari keluaran (output) dari masing-masing kombinasi tersebut. Misalnya Teori De Morgan dan Distributif.

Berikut adalah contoh penyederhanaan menggunakan teori Boole.
F   = A + ABC + A’BC + AD + AD’ + A’B
  = A(1 + BC + D + D’) + A'(BC + B)
  = A + A'(BC + B(C + C’))
  = A + A'(BC + BC + BC’)
  = A + A'(BC + BC’)
  = A + A’B(C + C’)
  = A + A’B